Ein Arbeitsvertrag muss nicht zwingend schriftlich abgefasst sein.
Auch per Handschlag abgeschlossene Verträge haben volle Gültigkeit. Allerdings sind Inhalte für beide Seiten, wenn keine Zeugen anwesend waren, schwer beweisbar.
Wenn also der Arbeitgeber ordnungsgemäß Sozialabgaben zahlt und auch sonst alles korrekt abrechnet, wäre ein Arbeitsvertrag nicht unbedingt notwendig. Es gelten dann, wenn nichts anderes vereinbart wurde, die gesetzlichen Bestimmungen des Arbeitsrechtes.
Ich würde dennoch weiter hartnäckig auf einen schriftlichen Arbeitsvertrag bestehen
Zu Deiner Frage: Im Arbeitsrecht steht nirgends eine Regelung zur Dauer der Probezeit (ausser bei Azubis).
Üblich sind 3-6 Monate (je nach Tätigkeit), in Ausnahmefällen auch 9 Monate.
Während der Probezeit darf nicht fristlos gekündigt werden!!!
Wenn nichts vereinbart wurde, würde ich von 3 Monaten ausgehen und sollte der Arbeitgeber anderer Meinung sein, wird es recht schwer für ihn, diese Absprache zu beweisen.
Du solltest bei diesem Arbeitgeber einen Gewerkschaftseintritt in Erwägung ziehen, mindestens aber schnell eine Rechtschutzversicherung abschließen.
Ich prophezeie größere Probleme in nächster Zeit.